log(x)の微分が1/xになることの証明で、lim h→0 1/x・x/h log{1+h/x}→
lim h→0 1/x・log{1+h/x}^x/h というのを見掛けたことがあると思う。
log{1+h/x}^x/hはeになるので{log(x)}'は1/xだ。
大概、ここで計算の工夫によりx/hとおくというように習うだろう。
でもそんなポッと出の閃きは必要としない。
そもそもy=logxとおけば、yがΔy増えればxもΔx増えるので
y+Δy=log(x+Δx) (e>1)
Δy=log(x+Δx)-y=log(x+Δx)-log(x)=log(x+Δx)/x
Δx/x=hとおくと
log(x+Δx)/x=log(1+h)
Δx→0のときh→0
limΔx→0 Δy/Δx=dy/dx
lim Δx→0 Δy/Δx=lim h→0 log(1+h)/Δx=1/x・1/h log(1+h)
=lim h→0 1/x log(1+h)^1/h
lim h→0 log(1+h)^1/h=eより
lim h→0 1/x log(1+h)^1/h=1/x
突然の閃きはいらない。
